№ 40.12. а) 27^{√(x−1)} = √(9^{x−1}); б) 2^{√(13−x²)} = √2 · √32; в) 3^x · (1/3)^{√(x+1)} = 243; г) (0,1^{√(x+1)})^{√(x+6)} = 1/10^6

Question

Вопрос: $Фото задания: № 40.12. а) 27^{√(x−1)} = √(9^{x−1}); б) 2^{√(13−x²)} = √2 · √32; в) 3^x · (1/3)^{√(x+1)} = 243; г) (0,1^{√(x+1)})^{√(x+6)} =…$ Фото задания

№ 40.12. а) 27^{√(x−1)} = √(9^{x−1}); б) 2^{√(13−x²)} = √2 · √32; в) 3^x · (1/3)^{√(x+1)} = 243; г) (0,1^{√(x+1)})^{√(x+6)} = 1/10^6

Accepted Answer

а) Область определения: $x\ge1$.

$27^{\sqrt{x-1}}=3^{3\sqrt{x-1}}$, а $\sqrt{9^{x-1}}=3^{x-1}$.

$3\sqrt{x-1}=x-1$. Пусть $t=\sqrt{x-1}$, тогда $t\ge0$: $3t=t^2$, откуда $t=0$ или $t=3$.

Получаем $x=1$ или $x=10$.

б) $\sqrt2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3$.

$\sqrt{13-x^2}=3$, поэтому $13-x^2=9$, $x^2=4$.

$x=-2$ или $x=2$.

в) $243=3^5$, поэтому $3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$.

Пусть $t=\sqrt{x+1}$, тогда $x=t^2-1$:

$t^2-1-t=5$, $t^2-t-6=0$.

Допустимо только $t=3$, следовательно, $x=8$.

г) $0,1=10^{-1}$, значит $\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$.

$(x+1)(x+6)=36$, $x^2+7x-30=0$.

Корни: $x=3$ и $x=-10$. С учётом области определения $x\ge-1$ подходит только $x=3$.

Ответ: а) $x=1;10$; б) $x=-2;2$; в) $x=8$; г) $x=3$.