40. а) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠CAB = 27°, ∠CEA = 75°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. б) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠CDB = 45°, ∠BED = 63°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. в) Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Известно, что ∠DBA = 59°, ∠BED = 47°. Найдите угол CAB. Ответ дайте в градусах.

Используем свойства вписанного угла и угла, образованного пересекающимися хордами: вписанный угол равен половине соответствующей дуги, а угол между хордами равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным ему.

1. а) ∠CAB = 27°, значит, дуга CB равна 54°. Из ∠CEA = 75° получаем: дуга CA + дуга BD = 2 · 75° = 150°. Тогда дуга AD, не содержащая B, равна 360° − 54° − 150° = 156°. Следовательно, ∠ABD = 156° : 2 = 78°.
2. б) ∠CDB = 45°, значит, дуга CB, не содержащая D, равна 90°. Из ∠BED = 63° следует, что дуга BD + дуга AC = 126°. Дуга A–C–B–D равна 126° + 90° = 216°, поэтому другая дуга AD равна 360° − 216° = 144°. Центральный угол AOD, соответствующий меньшей дуге AD, равен 144°.
3. в) ∠DBA = 59°, значит, дуга DA, не содержащая B, равна 118°. Из ∠BED = 47° получаем: дуга BD + дуга AC = 94°. Тогда дуга CB, не содержащая A, равна 360° − 118° − 94° = 148°. Следовательно, ∠CAB = 148° : 2 = 74°.

Ответ: а) 78°; б) 144°; в) 74°.