40. \( \frac{1}{2} \lg 81 - \lg x > \lg 2 \)

Решение:

Для решения данного логарифмического неравенства, используем свойства логарифмов:

1. Запишем неравенство: \( \frac{1}{2} \lg 81 - \lg x > \lg 2 \)
2. \( \lg 81^{\frac{1}{2}} - \lg x > \lg 2 \)
3. \( \lg 9 - \lg x > \lg 2 \)
4. \( \lg \frac{9}{x} > \lg 2 \)
5. Так как функция \( \lg x \) возрастающая, основание логарифма \( 10 > 1 \), снимаем логарифм: \( \frac{9}{x} > 2 \)
6. Решаем полученное неравенство. Учтём, что \( x > 0 \) (область определения логарифма): \( 9 > 2x \)
7. \( x < \frac{9}{2} \)
8. \( x < 4.5 \)
9. Объединяя условия \( x > 0 \) и \( x < 4.5 \), получаем интервал: \( 0 < x < 4.5 \)

Ответ: \( (0; 4.5) \).