40. На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Вектор $\vec c$ разложен по двум неколлинеарным векторам $\vec a$ и $\vec b$: $\vec c=k\vec a+l\vec b$, где $k$ и $l$ — коэффициенты разложения. Найдите $k$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 40. На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Вектор $\vec c$ разложен по двум…$ Фото задания

40. На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$, $\vec b$ и $\vec c$. Вектор $\vec c$ разложен по двум неколлинеарным векторам $\vec a$ и $\vec b$: $\vec c=k\vec a+l\vec b$, где $k$ и $l$ — коэффициенты разложения. Найдите $k$.

Accepted Answer

По рисунку определяем координаты векторов:

\[\vec a=(1;3),\qquad \vec b=(2;1),\qquad \vec c=(6;-1).\]

Из равенства $\vec c=k\vec a+l\vec b$ получаем систему:

\[\begin{cases}k+2l=6,\\3k+l=-1.\end{cases}\]

Из первого уравнения $l=\frac{6-k}{2}$. Подставим во второе:

\[3k+\frac{6-k}{2}=-1,\]

\[6k+6-k=-2,\qquad5k=-8,\qquad k=-\frac85.\]

Ответ: $k=-\frac85$.