406 Пусть дана случайная величина X, имеющая дисперсию. Чтобы центрировать и нормировать эту случайную величину, вычисляют случайную величину Z = (X - EX) / √DX. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины Z.

Решение:

Дана случайная величина \( X \) с математическим ожиданием \( E(X) \) и дисперсией \( D(X) \).

Рассмотрим случайную величину \( Z = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} \).

1. Найдём математическое ожидание Z:

\( E(Z) = E\left(\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right) \)

Поскольку \( E(X) \) и \( \sqrt{D(X)} \) являются константами, мы можем вынести их из-под знака математического ожидания:

\( E(Z) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} E(X - E(X)) \)

Используя свойство \( E(A - B) = E(A) - E(B) \), получаем:

\( E(Z) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} (E(X) - E(E(X))) \)

Математическое ожидание константы равно самой константе: \( E(E(X)) = E(X) \).

\( E(Z) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} (E(X) - E(X)) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} \cdot 0 = 0 \).

2. Найдём дисперсию Z:

\( D(Z) = D\left(\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right) \)

Используя свойство \( D(aX + b) = a^2 D(X) \), где \( a = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} \) и \( b = -\frac{E(X)}{\sqrt{D(X)}} \) (константы), получаем:

\( D(Z) = \left(\frac{1}{\sqrt{D(X)}}\right)^2 D(X - E(X)) \)

\( D(Z) = \frac{1}{D(X)} D(X - E(X)) \)

Дисперсия разности равна дисперсии разности: \( D(A - B) = D(A) + D(B) \) если A и B независимы. В данном случае \( D(X - E(X)) = D(X) + D(-E(X)) \). Дисперсия константы равна 0, поэтому \( D(X - E(X)) = D(X) \).

\( D(Z) = \frac{1}{D(X)} \cdot D(X) = 1 \).

Ответ: Математическое ожидание E(Z) = 0, дисперсия D(Z) = 1.