41.22. Упростите выражения: а) y = sin 2x cos x − cos 2x sin x; б) y = sin(x/3) cos(2x/3) + cos(x/3) sin(2x/3); в) y = cos 3x cos 2x + sin 3x sin 2x; г) y = cos(x/5) cos(4x/5) − sin(x/5) sin(4x/5).

Применяем формулы синуса и косинуса суммы и разности.

1. \(y=\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=\sin(2x-x)=\sin x\).
2. \(y=\sin\frac{x}{3}\cos\frac{2x}{3}+\cos\frac{x}{3}\sin\frac{2x}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{2x}{3}\right)=\sin x\).
3. \(y=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x=\cos(3x-2x)=\cos x\).
4. \(y=\cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5}-\sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+\frac{4x}{5}\right)=\cos x\).

Ответ: а) \(y=\sin x\); б) \(y=\sin x\); в) \(y=\cos x\); г) \(y=\cos x\).