411. Даны прямые a, b и окружность c с центром O. а) Постройте прямую a₁, симметричную прямой a относительно прямой b. б) Используя прямую a₁, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой a и данной окружности.

а) Возьмём две точки C и D на a, построим их отражения C₁ и D₁ относительно b и проведём прямую a₁ = C₁D₁.

б) Отразим окружность c относительно b и получим окружность c₁. Её центр O₁ — отражение O, радиус равен радиусу c. Найдём точку A пересечения a и c₁. Отразим A относительно b и обозначим полученную точку B. Тогда A лежит на a, B — на c, а b является серединным перпендикуляром к AB.

По построению с использованием a₁: отразим a₁ относительно b, получим a; построим c₁; возьмём A из пересечения a и c₁ и отразим её в B. Если пересечений несколько, каждое даёт подходящий отрезок. Если a и c₁ не пересекаются, решения нет.