408. Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр.

Пусть равные хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(P\), а прямая \(l\), содержащая данный диаметр, проходит через \(P\) и центр \(O\) окружности.

Равные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от её центра. Поэтому расстояния от точки \(O\) до прямых \(AB\) и \(CD\) равны.

Обе прямые проходят через точку \(P\), лежащую на прямой \(l\). Следовательно, они образуют с прямой \(l\) равные углы по разные стороны от неё. Значит, отражение относительно прямой \(l\) переводит прямую \(AB\) в прямую \(CD\).

При этом окружность переходит в себя, поэтому концы хорды \(AB\) переходят в концы хорды \(CD\). Следовательно, хорды симметричны относительно прямой \(l\).

Ответ: хорды симметричны относительно прямой, содержащей данный диаметр.