411. Даны прямые a, b и окружность с центром O. а) Постройте прямую a₁, симметричную прямой a относительно прямой b. б) Используя прямую a₁, постройте отрезок так, чтобы прямая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой a и данной окружности.

Построение.

1. Отразите относительно b две точки прямой a и проведите прямую через их образы. Получится a₁.
2. Постройте окружность, симметричную данной относительно b: её центр O₁ — образ центра O, а радиус остаётся прежним.
3. Найдите точки пересечения a₁ с построенной окружностью. Для каждой такой точки X отразите X относительно b и обозначьте образ A. Тогда A лежит на a, X — на данной окружности, а b является серединным перпендикуляром AX. Проведите отрезок AX.

Построение возможно, если a₁ пересекает отражённую окружность; обычно получается ноль, одна или две точки пересечения.