412. Докажи, что приведенные ниже числа являются составными: а) 8, 28, 111; б) 77 777, 1111, 242 242, 373 737, 111 111 111; в) 111…1 (1996 цифр); г) 111…1 (1995 цифр).

\(8=2\cdot4\), \(28=4\cdot7\), \(111=3\cdot37\). У каждого числа есть делители, отличные от 1 и самого числа.

\(77\,777=7\cdot11\,111\); \(1111=11\cdot101\); \(242\,242=2\cdot11^3\cdot7\cdot13\); \(373\,737=37\cdot10\,101\); \(111\,111\,111=9\cdot12\,345\,679\). Все числа представлены произведениями множителей, больших 1.

Обозначим число из 1996 единиц через \(N\). Поскольку 1996 делится на 2, число можно разбить на 998 блоков «11»: \(N=11(1+10^2+10^4+\cdots+10^{1994})\). Это произведение двух чисел, больших 1, значит, число составное.

Обозначим число из 1995 единиц через \(M\). Поскольку 1995 делится на 3, \(M=111(1+10^3+10^6+\cdots+10^{1992})\). Оба множителя больше 1, поэтому число составное.