415. Найдите значение выражения: а) \(\sqrt[3]{10+\sqrt{73}}\cdot\sqrt[3]{10-\sqrt{73}}\); б) \(\dfrac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}}+\sqrt{17}\); в) \(\sqrt[4]{9-\sqrt{65}}\cdot\sqrt[4]{9+\sqrt{65}}\); г) \(\sqrt{3-\sqrt5}\cdot\sqrt{3+\sqrt5}\).

а) Объединим кубические корни:

\[\sqrt[3]{(10+\sqrt{73})(10-\sqrt{73})}=\sqrt[3]{100-73}=\sqrt[3]{27}=3.\]

Ответ: 3.

б) Используем равенство \((4+\sqrt{17})(4-\sqrt{17})=-1\):

\[\frac{\sqrt[3]{(4+\sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4-\sqrt{17}}}=\sqrt[3]{\frac{(4+\sqrt{17})^2}{4-\sqrt{17}}}=-\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}.\]

Следовательно, значение выражения равно \(\sqrt{17}-\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}\).

Ответ: \(\sqrt{17}-\sqrt[3]{4+\sqrt{17}}\).

в) Объединим корни четвёртой степени:

\[\sqrt[4]{(9-\sqrt{65})(9+\sqrt{65})}=\sqrt[4]{81-65}=\sqrt[4]{16}=2.\]

Ответ: 2.

г) Объединим квадратные корни:

\[\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=\sqrt{9-5}=\sqrt4=2.\]

Ответ: 2.