416. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: а) \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}\); б) \(\dfrac{2}{a-\sqrt[3]{b}}\); в) \(\dfrac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}\); г) \(\dfrac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\).

а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{2-3}.\]

\[\frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}=-\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}\right).\]

Ответ: \(-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{9}\).

б) Умножим на \(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\):

\[\frac{2}{a-\sqrt[3]{b}}=\frac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b}.\]

Ответ: \(\dfrac{2\left(a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{a^3-b}\).

в) Используем формулу \((x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3\):

\[\frac{2}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{7}}=\frac{2\left(\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}\right)}{5+7}.\]

Ответ: \(\dfrac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{35}+\sqrt[3]{49}}{6}\).

г) Обозначим \(x=\sqrt[3]{a}\), \(y=\sqrt[3]{b}\). Тогда знаменатель равен \(x^2-xy+y^2\). Умножаем числитель и знаменатель на \(x+y\):

\[\frac{3a}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}=\frac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}.\]

Ответ: \(\dfrac{3a\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)}{a+b}\).