417. а) Лодка проплыла 18 км по течению реки и за такое же время 10 км против течения реки. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и время движения лодки по реке. б) Катер проплыл 33 км вниз по течению реки, а затем такое же время плыл против течения, пройдя при этом 27 км. В стоячей воде катер плывёт со скоростью 20 км/ч. Сколько времени длилось путешествие?

а) Пусть собственная скорость лодки равна \(v\) км/ч. Тогда скорости по течению и против течения равны \(v+2\) и \(v-2\) км/ч. Время движения было одинаковым:

\(\dfrac{18}{v+2}=\dfrac{10}{v-2}\).

\(18(v-2)=10(v+2)\), откуда \(8v=56\) и \(v=7\) км/ч.

Время каждого участка: \(18:(7+2)=2\) ч; проверка: \(10:(7-2)=2\) ч. Общее время движения — \(2+2=4\) ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 7 км/ч; время по каждому участку — 2 ч, всего — 4 ч.

б) Скорость катера по течению равна \(20+u\), а против течения — \(20-u\), где \(u\) — скорость течения. Время на участках одинаковое:

\(\dfrac{33}{20+u}=\dfrac{27}{20-u}\).

\(33(20-u)=27(20+u)\), откуда \(120=60u\), значит, \(u=2\) км/ч.

Время каждого участка: \(33:(20+2)=1.5\) ч. Всего: \(1.5+1.5=3\) ч.

Ответ: путешествие длилось 3 ч.