42. Укажите область определения и найдите нули функции: а) y = (x − √(x + 6))/(x + 5); б) y = (4x² + 25x)/(2x − √(10 − 6x)).

1. а) Для корня требуется \(x+6\ge0\), то есть \(x\ge-6\). Знаменатель не должен обращаться в нуль: \(x+5\ne0\), то есть \(x\ne-5\). Поэтому \(D(y)=[-6;-5)\cup(-5;+\infty)\).

   Нули находятся из уравнения \(x-\sqrt{x+6}=0\). Следовательно, \(x=\sqrt{x+6}\), поэтому \(x\ge0\). Возводим в квадрат: \(x^2=x+6\), \((x-3)(x+2)=0\). С учётом \(x\ge0\) получаем \(x=3\).

2. б) Для корня требуется \(10-6x\ge0\), то есть \(x\le\frac53\). Знаменатель не должен быть равен нулю: \(2x-\sqrt{10-6x}\ne0\). Уравнение \(2x=\sqrt{10-6x}\) возможно только при \(x\ge0\). После возведения в квадрат: \(4x^2=10-6x\), \(2x^2+3x-5=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-\frac52\). Условию \(x\ge0\) удовлетворяет только \(x=1\). Поэтому \(D(y)=(-\infty;\frac53]\setminus\{1\}\).

   Числитель раскладывается: \(4x^2+25x=x(4x+25)\). Отсюда возможные нули: \(x=0\) и \(x=-\frac{25}{4}\). Оба входят в область определения и не делают знаменатель нулём.

Ответ: а) \(D(y)=[-6;-5)\cup(-5;+\infty)\), нуль \(x=3\); б) \(D(y)=(-\infty;\frac53]\setminus\{1\}\), нули \(x=0\) и \(x=-\frac{25}{4}\).