420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC и равными сторонами AB = AC. Биссектриса угла A пересекает BC в точке D.

1. В треугольниках ABD и ACD: AB = AC, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠DAC, поскольку AD — биссектриса.
2. Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
3. Поэтому отражение относительно прямой AD меняет местами B и C, оставляет A неподвижной и переводит треугольник ABC в себя.

Следовательно, прямая AD является осью симметрии треугольника.