420. Высота цилиндра на 2 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 80π см². Вычислите объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Пусть радиус цилиндра равен r см. Тогда его высота h = r + 2.

Площадь полной поверхности цилиндра: \(2\pi r^2+2\pi rh=80\pi\). Подставим высоту и сократим на \(2\pi\): \(r^2+r(r+2)=40\), откуда \(r^2+r-20=0\). Положительный корень — \(r=4\), поэтому \(h=6\) см.

Основание вписанной правильной четырехугольной призмы — квадрат, описанный около окружности цилиндра. Диагональ квадрата равна диаметру \(8\) см, поэтому его площадь равна половине квадрата диагонали: \(S=8^2/2=32\) см².

Объем призмы: \(V=Sh=32\cdot6=192\) см³.

Ответ: 192 см³.