421. Диагональ сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее, в два раза больше радиуса цилиндра. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой совпадает со стороной сечения, являющейся хордой основания цилиндра, а вершина — центр другого основания.

Обозначим радиус цилиндра через R, а его высоту через h. Сечение — прямоугольник: его стороны равны высоте цилиндра и длине хорды основания, находящейся на расстоянии 4 см от центра.

Длина хорды равна \(2\sqrt{R^2-4^2}=2\sqrt{R^2-16}\). По условию диагональ прямоугольника равна \(2R\), поэтому \(h^2+4(R^2-16)=(2R)^2\). Отсюда \(h^2=64\), то есть \(h=8\) см.

Высота пирамиды равна высоте цилиндра, но ее объем нельзя определить однозначно: площадь основания зависит от R, а радиус цилиндра условием не задан. Например, из условия получается только длина хорды \(2\sqrt{R^2-16}\), которая меняется при разных допустимых значениях R.

Для вычисления объема не хватает радиуса цилиндра либо эквивалентных данных, позволяющих определить сторону основания пирамиды.