423. Вычислите объем цилиндра, если площадь его полной поверхности равна 130π см², а периметр осевого сечения — 36 см.

Обозначим радиус основания цилиндра через r, высоту — через h. Из площади полной поверхности \(2\pi r^2+2\pi rh=130\pi\) получаем \(r(r+h)=65\).

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(2r\) и h. Его периметр равен \(4r+2h=36\), поэтому \(2r+h=18\), или \(h=18-2r\).

Подставим в уравнение площади: \(r(18-r)=65\). Тогда \(r^2-18r+65=0\), откуда \(r=5\) или \(r=13\). Значение \(r=13\) дает отрицательную высоту, поэтому оно не подходит. Получаем \(r=5\) см, \(h=8\) см.

Объем: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot5^2\cdot8=200\pi\) см³.

Ответ: 200π см³.