421. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases}\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{y}=1,\\3\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=10;\end{cases}$ б) $\begin{cases}4\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=2\sqrt{2},\\2\sqrt[4]{x}+3\sqrt[4]{y}=8\sqrt{2};\end{cases}$ в) $\begin{cases}2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=7,\\4\sqrt[4]{y}-3\sqrt[4]{x}=-6;\end{cases}$ г) $\begin{cases}\sqrt{x}+3\sqrt{y}=5\sqrt{5},\\5\sqrt{y}-2\sqrt{x}=\sqrt{5}.\end{cases}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 421. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases}\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{y}=1,\\3\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=10;\end{cases}$ б)…$ Фото задания

421. Решите систему уравнений: а) $\begin{cases}\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{y}=1,\\3\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}=10;\end{cases}$ б) $\begin{cases}4\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}=2\sqrt{2},\\2\sqrt[4]{x}+3\sqrt[4]{y}=8\sqrt{2};\end{cases}$ в) $\begin{cases}2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=7,\\4\sqrt[4]{y}-3\sqrt[4]{x}=-6;\end{cases}$ г) $\begin{cases}\sqrt{x}+3\sqrt{y}=5\sqrt{5},\\5\sqrt{y}-2\sqrt{x}=\sqrt{5}.\end{cases}$

Accepted Answer

а) Обозначим $u=\sqrt[3]{x}$, $v=\sqrt[3]{y}$. Получаем систему $u+2v=1$, $3u-v=10$. Решение: $u=3$, $v=-1$. Следовательно, $x=27$, $y=-1$.

б) Обозначим $u=\sqrt[4]{x}$, $v=\sqrt[4]{y}$. Из первого уравнения $v=4u-2\sqrt2$. Подстановка во второе даёт $14u=14\sqrt2$, значит $u=\sqrt2$, $v=2\sqrt2$. Поэтому $x=u^4=4$, $y=v^4=16$.

в) Пусть $u=\sqrt[4]{x}$, $v=\sqrt[4]{y}$. Из $2u+v=7$ имеем $v=7-2u$. Подстановка во второе уравнение даёт $4(7-2u)-3u=-6$, откуда $u=\frac{34}{11}$, $v=\frac{9}{11}$. Следовательно, $x=\left(\frac{34}{11}\right)^4$, $y=\left(\frac{9}{11}\right)^4$.

г) Обозначим $u=\sqrt{x}$, $v=\sqrt{y}$. Из первого уравнения $u=5\sqrt5-3v$. Подставляем во второе: $-2(5\sqrt5-3v)+5v=\sqrt5$, откуда $v=\sqrt5$, а затем $u=2\sqrt5$. Значит, $x=20$, $y=5$.

Ответ: а) $(27;-1)$; б) $(4;16)$; в) $\left(\left(\frac{34}{11}\right)^4;\left(\frac{9}{11}\right)^4\right)$; г) $(20;5)$.