426. Решите системы уравнений: а) {2√x − √y = 5; √x·√y = 3}; б) {√(6 + x) − 3√(3y + 4) = −10; 4√(3y + 4) − 5√(6 + x) = 6}; в) {√x + 3√y = 10; √x·√y = 8}; г) {2√(x − 2) + √(5y + 1) = 8; 3√(x − 2) − 2√(5y + 1) = −2}.

В каждом пункте заменим корни переменными, которые должны быть неотрицательными.

а) Пусть p = √x и q = √y. Тогда 2p − q = 5, pq = 3. Из первого уравнения q = 2p − 5. Подставляем во второе: 2p² − 5p − 3 = 0. Корни p = 3 и p = −1/2; поскольку p ≥ 0, берём p = 3, тогда q = 1. Значит, x = 9, y = 1.

б) Пусть p = √(6 + x), q = √(3y + 4). Получаем систему p − 3q = −10, −5p + 4q = 6. Из первого уравнения p = 3q − 10. Подстановка во второе даёт −11q = −44, значит, q = 4 и p = 2. Тогда x + 6 = 4, 3y + 4 = 16, откуда x = −2, y = 4.

в) Пусть p = √x и q = √y. Тогда p + 3q = 10 и pq = 8. Подставим p = 10 − 3q во второе уравнение: 3q² − 10q + 8 = 0. Получаем q = 2 или q = 4/3. Соответственно, p = 4 или p = 6. Поэтому решения: (x; y) = (16; 4) и (36; 16/9).

г) Пусть p = √(x − 2), q = √(5y + 1). Тогда 2p + q = 8, 3p − 2q = −2. Из первого уравнения q = 8 − 2p. Подстановка во второе даёт 7p = 14, поэтому p = 2 и q = 4. Значит, x − 2 = 4 и 5y + 1 = 16, откуда x = 6, y = 3.

Ответ: а) (9; 1); б) (−2; 4); в) (16; 4), (36; 16/9); г) (6; 3).