437. Для четырёх точек A, B, C и D известно, что \(\vec{AB} = \vec{CD}\). Докажите, что середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(\vec{AB} = \vec{CD}\).

Пусть M - середина AD, а N - середина BC. Тогда \(\vec{AM} = \vec{MD}\) и \(\vec{BN} = \vec{NC}\). Если M и N совпадают, то \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}\) и \(\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}\). Тогда \(\vec{AB} + \vec{BN} = \vec{AN}\) и \(\vec{AN} = \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AD}\) и \(\vec{CD} + \vec{DN} = \vec{CN}\) и \(\vec{CN} = \vec{CM} = \frac{1}{2}\vec{CB}\). Из равенства \(\vec{AB} = \vec{CD}\) следует, что \(\vec{AD} = \vec{BC}\), а значит, середины отрезков AD и BC совпадают. Обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то \(\vec{AB} = \vec{CD}\).