44. Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0, то значение выражения 2/(mn) : (1/m − 1/n)² − (m² + n²)/(m − n)² не зависит от значений переменных.

Сначала упростим квадрат разности:

\(\left(\dfrac1m-\dfrac1n\right)^2=\left(\dfrac{n-m}{mn}\right)^2=\dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}\).

Выполним деление на эту дробь:

\(\dfrac{2}{mn}:\dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2}=\dfrac{2mn}{(m-n)^2}\).

Теперь вычтем вторую дробь:

\(\dfrac{2mn}{(m-n)^2}-\dfrac{m^2+n^2}{(m-n)^2}=\dfrac{2mn-m^2-n^2}{(m-n)^2}=-\dfrac{(m-n)^2}{(m-n)^2}=-1\).

Получилось постоянное значение, не зависящее от m и n.

Ответ: −1.