45. Докажите, что при любом целом a и дробном x значение выражения (a − (a² + x²)/(a + x)) · (2a/x + 4a/(a − x)) является чётным числом.

Рассмотрим множители отдельно. В первом выполним вычитание:

\(a-\dfrac{a^2+x^2}{a+x}=\dfrac{a(a+x)-(a^2+x^2)}{a+x}=\dfrac{x(a-x)}{a+x}\).

Во втором приведём дроби к общему знаменателю:

\(\dfrac{2a}{x}+\dfrac{4a}{a-x}=\dfrac{2a(a-x)+4ax}{x(a-x)}=\dfrac{2a(a+x)}{x(a-x)}\).

Перемножим результаты и сократим общие множители:

\(\dfrac{x(a-x)}{a+x}\cdot\dfrac{2a(a+x)}{x(a-x)}=2a\).

Так как a — целое число, 2a является чётным целым числом. Это верно для всех значений, при которых исходное выражение определено.