44. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен 48°. Найдите углы, которые образует сторона ромба с его диагоналями. Угол между высотой и диагональю ромба, проведёнными из вершины тупого угла, равен 42°. Найдите углы ромба. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Найдите сторону ромба, если его меньшая диагональ равна 16 см.

1) Диагональ, проведённая из вершины тупого угла ромба, делит его пополам. Пусть половина тупого угла равна β. Высота перпендикулярна противоположной стороне; угол между высотой и этой диагональю равен 90° − β. Следовательно, 90° − β = 48°, откуда β = 42°. Сторона ромба образует с диагоналями углы 42° и 90° − 42° = 48°.

Ответ: 42° и 48°.

2) Пусть половина тупого угла равна β. По тому же соотношению между высотой и диагональю: 90° − β = 42°, поэтому β = 48°. Тупой угол ромба равен 2 · 48° = 96°, а соседний угол — 180° − 96° = 84°.

Ответ: углы ромба — 84° и 96°.

3) Обозначим сторону ромба через s, а острый угол через θ. Высота, опущенная из вершины тупого угла, попадает на противоположную сторону и делит её пополам. Горизонтальная проекция стороны ромба на эту сторону равна s cos θ; из условия она равна s/2. Значит, cos θ = 1/2 и θ = 60°.

В ромбе со стороной s и острым углом 60° меньшая диагональ равна s: по теореме косинусов её квадрат равен s² + s² − 2s² cos 60° = s². Так как меньшая диагональ равна 16 см, сторона ромба также равна 16 см.

Ответ: 16 см.