45. Четырёхугольник ABCD — квадрат, O — точка пересечения его диагоналей, OM ⟂ ABC. Докажите, что: а) BD ⟂ MA и BD ⟂ MC; б) AC ⟂ MB и AC ⟂ MD.

Диагонали квадрата перпендикулярны и пересекаются в точке O. Поэтому BD ⟂ AC. Кроме того, OM ⟂ плоскости ABC, следовательно, OM ⟂ BD и OM ⟂ AC.

а) Рассмотрим плоскость AMC. Прямые AC и OM лежат в этой плоскости и пересекаются в O. Так как BD перпендикулярна каждой из них, BD перпендикулярна плоскости AMC. Значит, BD перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности BD ⟂ MA и BD ⟂ MC.

б) Рассмотрим плоскость BMD. Прямые BD и OM лежат в ней и пересекаются в O. Прямая AC перпендикулярна BD и OM, поэтому AC ⟂ плоскости BMD. Следовательно, AC ⟂ MB и AC ⟂ MD.

Доказано.