46. В тетраэдре MABC AB = AC, MB = MC. Докажите, что BC ⟂ AM.

Треугольники BAC и BMC равнобедренные: AB = AC и MB = MC. Пусть H — середина BC. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому AH ⟂ BC и MH ⟂ BC.

Прямые AH и MH пересекаются и лежат в плоскости AMH. Следовательно, BC перпендикулярна плоскости AMH, а значит, перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности AM.

Доказано.