450. Упростите выражения: а) $\frac{a^{2\sqrt2}-b^{2\sqrt3}}{(a^{\sqrt2}-b^{\sqrt3})^2}+1$; б) $\frac{(a^{2\sqrt3}-1)(a^{2\sqrt3}+a^{\sqrt3}+a^{3\sqrt3})}{a^{4\sqrt3}-a^{\sqrt3}}$; в) $\frac{a^{\sqrt5}-b^{\sqrt7}}{a^{\frac{2\sqrt5}{3}}+a^{\frac{\sqrt5}{3}}b^{\frac{\sqrt7}{3}}+b^{\frac{2\sqrt7}{3}}}$; г) $\sqrt{(x^\pi+y^\pi)^2-\left(\frac14xy\right)^\pi}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 450. Упростите выражения: а) $\frac{a^{2\sqrt2}-b^{2\sqrt3}}{(a^{\sqrt2}-b^{\sqrt3})^2}+1$; б)…$ Фото задания

450. Упростите выражения: а) $\frac{a^{2\sqrt2}-b^{2\sqrt3}}{(a^{\sqrt2}-b^{\sqrt3})^2}+1$; б) $\frac{(a^{2\sqrt3}-1)(a^{2\sqrt3}+a^{\sqrt3}+a^{3\sqrt3})}{a^{4\sqrt3}-a^{\sqrt3}}$; в) $\frac{a^{\sqrt5}-b^{\sqrt7}}{a^{\frac{2\sqrt5}{3}}+a^{\frac{\sqrt5}{3}}b^{\frac{\sqrt7}{3}}+b^{\frac{2\sqrt7}{3}}}$; г) $\sqrt{(x^\pi+y^\pi)^2-\left(\frac14xy\right)^\pi}$.

Accepted Answer

а) Обозначим $A=a^{\sqrt2}$, $B=b^{\sqrt3}$. Тогда $\frac{A^2-B^2}{(A-B)^2}+1=\frac{A+B}{A-B}+1=\frac{2A}{A-B}$. Следовательно, $\frac{2a^{\sqrt2}}{a^{\sqrt2}-b^{\sqrt3}}$.
б) Пусть $t=a^{\sqrt3}$. Числитель раскладывается: $(t^2-1)(t^2+t+t^3)=(t-1)(t+1)t(t^2+t+1)$, а знаменатель $t^4-t=t(t-1)(t^2+t+1)$. После сокращения получаем $t+1=a^{\sqrt3}+1$.
в) Положим $A=a^{\frac{\sqrt5}{3}}$, $B=b^{\frac{\sqrt7}{3}}$. Тогда выражение равно $\frac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}=A-B=a^{\frac{\sqrt5}{3}}-b^{\frac{\sqrt7}{3}}$.
г) По видимой записи подкоренное выражение уже представлено как разность квадрата и степени: $\sqrt{(x^\pi+y^\pi)^2-\left(\frac{xy}{4}\right)^\pi}$. Дальнейшее стандартное упрощение не следует из свойств степеней.

Ответ: а) $\frac{2a^{\sqrt2}}{a^{\sqrt2}-b^{\sqrt3}}$; б) $a^{\sqrt3}+1$; в) $a^{\frac{\sqrt5}{3}}-b^{\frac{\sqrt7}{3}}$; г) $\sqrt{(x^\pi+y^\pi)^2-\left(\frac{xy}{4}\right)^\pi}$.