460. Выясните, рациональным или иррациональным числом является значение выражения: а) √(12 + 2√11) + √(12 − 2√11); б) √(14 + 2√33) − √(14 − 2√33); в) √(9 + 4√2) + √(9 − 4√2); г) √(11 − 6√2) − √(11 + 6√2).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) \(12+2\sqrt{11}=(\sqrt{11}+1)^2\), \(12-2\sqrt{11}=(\sqrt{11}-1)^2\). Сумма равна \((\sqrt{11}+1)+(\sqrt{11}-1)=2\sqrt{11}\), поэтому число иррациональное.
б) \(14+2\sqrt{33}=(\sqrt{11}+\sqrt3)^2\), \(14-2\sqrt{33}=(\sqrt{11}-\sqrt3)^2\). Разность равна \((\sqrt{11}+\sqrt3)-(\sqrt{11}-\sqrt3)=2\sqrt3\), поэтому число иррациональное.
в) \(9+4\sqrt2=(2\sqrt2+1)^2\), \(9-4\sqrt2=(2\sqrt2-1)^2\). Сумма равна \((2\sqrt2+1)+(2\sqrt2-1)=4\sqrt2\), поэтому число иррациональное.
г) \(11-6\sqrt2=(3-\sqrt2)^2\), \(11+6\sqrt2=(3+\sqrt2)^2\). Разность равна \((3-\sqrt2)-(3+\sqrt2)=-2\sqrt2\), поэтому число иррациональное.

Ответ: все четыре значения иррациональны.