461. Решите уравнения: а) (2/3)^x · (9/8)^x = 27/64; б) √(8^x − 3) = ³√(4^(2 − x)); в) √(2^x) · √(3^x) = 36; г) (3/7)^(3x + 1) = (7/3)^(5x − 3).

а) Объединим степени с одинаковым показателем: \(\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^x\). Так как \(\frac{27}{64}=\left(\frac{3}{4}\right)^3\), получаем \(x=3\).

б) Численно решаем уравнение \(\sqrt{8^x-3}=4^{(2-x)/3}\), учитывая область определения \(8^x-3\geq0\). Левая часть возрастает, а правая убывает, поэтому корень единственный. Численное решение: \(x\approx0.847\).

в) \(\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=\sqrt{6^x}=6^{x/2}\). Поскольку \(36=6^2\), имеем \(x/2=2\), то есть \(x=4\).

г) Представим правую часть с основанием \(3/7\): \((7/3)^{5x-3}=(3/7)^{-(5x-3)}\). Тогда \(3x+1=-5x+3\), откуда \(8x=2\) и \(x=\frac14\).

Ответ: а) 3; б) примерно 0,847; в) 4; г) 1/4.