461. Решите уравнения: а) $\left(\frac{2}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{9}{8}\right)^x=\frac{27}{64}$; б) $\sqrt{8^{x-3}}=\sqrt[3]{4^{2-x}}$; в) $\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=36$; г) $\left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}=\left(\frac{7}{3}\right)^{5x-3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 461. Решите уравнения: а) $\left(\frac{2}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{9}{8}\right)^x=\frac{27}{64}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Объединим степени с одинаковым показателем: $\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^x$. Поскольку $\frac{27}{64}=\left(\frac{3}{4}\right)^3$, получаем $x=3$.
б) Запишем обе части как степени двойки: $2^{\frac{3(x-3)}{2}}=2^{\frac{2(2-x)}{3}}$. Приравниваем показатели: $\frac{3(x-3)}{2}=\frac{2(2-x)}{3}$, откуда $9x-27=8-4x$, $13x=35$, $x=\frac{35}{13}$.
в) $\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=\sqrt{6^x}=6^{x/2}$, а $36=6^2$. Поэтому $\frac{x}{2}=2$, то есть $x=4$.
г) Представим правую часть с основанием $\frac{3}{7}$: $\left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}=\left(\frac{3}{7}\right)^{-(5x-3)}$. Тогда $3x+1=-5x+3$, откуда $x=\frac{1}{4}$.

Ответ: а) 3; б) $\frac{35}{13}$; в) 4; г) $\frac{1}{4}$.

461. Решите уравнения: а) \(\left(\frac{2}{3}\right)^x\cdot\left(\frac{9}{8}\right)^x=\frac{27}{64}\); б) \(\sqrt{8^{x-3}}=\sqrt[3]{4^{2-x}}\); в) \(\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{3^x}=36\); г) \(\left(\frac{3}{7}\right)^{3x+1}=\left(\frac{7}{3}\right)^{5x-3}\).