468. Решите уравнения: а) 3^(x+1) − 2·3^(x−2) = 75; б) (1/5)^(x−1) − (1/5)^(x+1) = 4,8; в) 5·(1/2)^(x−3) + (1/2)^(x+1) = 162; г) 5·9^x + 9^(x−2) = 406.

1. а) Вынесем 3^x−2, учитывая 3^x+1=27·3^x−2: (27−2)·3^x−2=75. Тогда 3^x−2=3=3¹, значит x−2=1 и x=3.

2. б) Обозначим t=(1/5)^x+1. Тогда (1/5)^x−1=25t, поэтому 24t=4,8 и t=0,2=1/5. Следовательно, (1/5)^x+1=(1/5)¹, откуда x=0.

3. в) Обозначим t=(1/2)^x+1. Тогда (1/2)^x−3=16t, и уравнение принимает вид 80t+t=162. Получаем t=2=(1/2)⁻¹, значит x+1=−1 и x=−2.

4. г) Обозначим t=9^x−2. Поскольку 9^x=81t, уравнение даёт 5·81t+t=406, то есть 406t=406 и t=1=9⁰. Следовательно, x−2=0 и x=2.

Ответ: а) x=3; б) x=0; в) x=−2; г) x=2.