47. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Половины диагоналей ромба равны 3 м и 4 м, поэтому сторона основания равна \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) м. Площадь основания: \(S_{\text{осн}}=\frac{6\cdot8}{2}=24\) м², а полупериметр равен 10 м.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — радиус вписанной окружности: \(r=S_{\text{осн}}/10=2.4\) м. Высота каждой боковой грани равна \(\sqrt{1^2+2.4^2}=\frac{\sqrt{61}}{5}\) м.

Тогда боковая поверхность составляет \(S_{\text{бок}}=\frac12\cdot20\cdot\frac{\sqrt{61}}5=2\sqrt{61}\) м².

Ответ: \(2\sqrt{61}\) м².