481. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном \(n\) значение выражения \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}\) является натуральным числом? 1) Выберите произвольное значение \(n\) и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня. 2) Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении \(n(n+1)(n+2)(n+3)\), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата. 3) Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.

1) Например, возьмём \(n=2\): \(\sqrt{2\cdot3\cdot4\cdot5+1}=\sqrt{121}=11\), что является натуральным числом.

2) Сгруппируем множители попарно: \(n(n+3)\) и \((n+1)(n+2)\). Обозначим \(k=n(n+3)=n^2+3n\). Тогда \((n+1)(n+2)=n^2+3n+2=k+2\).

3) Подкоренное выражение преобразуется в полный квадрат:

\(n(n+1)(n+2)(n+3)+1=k(k+2)+1=k^2+2k+1=(k+1)^2\).

Следовательно, \(\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)+1}=k+1=n^2+3n+1\). При натуральном \(n\) это натуральное число.

Ответ: да, при любом натуральном \(n\) значение выражения является натуральным числом.