489. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC, а точки M и N — середины боковых сторон AB и CD.

1. Проведём через точку M прямую, параллельную основаниям. Она пересечёт CD в точке N′.
2. Так как MN′ ∥ AD и BC, а M — середина AB, то по теореме о средней линии треугольника BN′ = N′C. Следовательно, N′ — середина CD.
3. Но середина отрезка единственна, поэтому N′ = N. Значит, MN ∥ AD и MN ∥ BC.
4. По теореме о средней линии треугольника ABC: \(MN=\frac{AD+BC}{2}\).

Ответ: средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.