491. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, \(AD\parallel BC\), а боковые стороны равны: \(AB=CD\).

а) Проведём высоты из точек B и C на основание AD. Получившиеся прямоугольные треугольники имеют равные гипотенузы \(AB=CD\) и равные высоты, поэтому они равны. Следовательно, соответствующие углы при основании равны: \(\angle A=\angle D\).

Так как при каждой боковой стороне сумма внутренних односторонних углов равна 180°, из равенства \(\angle A=\angle D\) следует \(\angle B=\angle C\).

б) Рассмотрим треугольники BAD и CDA. В них \(AB=CD\), сторона AD общая, а \(\angle BAD=\angle CDA\) по пункту а). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие стороны равны: \(BD=AC\).

Ответ: \(\angle A=\angle D\), \(\angle B=\angle C\); диагонали \(AC\) и \(BD\) равны.