489. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC, а точки M и N — середины боковых сторон AB и CD. Проведём диагональ AC и обозначим через P середину AC.

1. В треугольнике ABC отрезок MP соединяет середины AB и AC, поэтому по теореме о средней линии треугольника MP ∥ BC и MP = BC / 2.
2. В треугольнике ACD отрезок PN соединяет середины AC и CD, поэтому PN ∥ AD и PN = AD / 2.
3. Так как AD ∥ BC, отрезки MP и PN лежат на одной прямой. Следовательно, MN параллельна основаниям, а MN = MP + PN = (AD + BC) / 2.

Ответ: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.