49. Упростить выражения: 1) ³√(³√(a¹⁸)) + (√(³√(a⁴)))³; 2) (√(³√(x²)))³ + 2(⁴√(√x))⁸; 3) ³√(√(x⁶y¹²)) − (⁵√(xy²))⁵; 4) ((⁵√(a · ⁵√a))⁵ − ⁵√a) : ¹⁰√(a²).

В выражениях с чётными корнями учитываем, что \(\sqrt{u^2}=|u|\). Для стандартного школьного упрощения предполагаем, что переменные неотрицательны.

1) \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^{18}}}+\left(\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}\right)^3=a^2+a^2=2a^2.\)

2) \(\left(\sqrt{\sqrt[3]{x^2}}\right)^3+2\left(\sqrt[4]{\sqrt{x}}\right)^8=x+2x=x+2x=3x.\)

3) \(\sqrt[3]{\sqrt{x^6y^{12}}}-\left(\sqrt[5]{xy^2}\right)^5=xy^2-xy^2=0.\)

4) \(\left(\sqrt[5]{a\sqrt[5]{a}}\right)^5= a\sqrt[5]{a}\), поэтому числитель равен \(a\sqrt[5]{a}-\sqrt[5]{a}=\sqrt[5]{a}(a-1)\). Делитель \(\sqrt[10]{a^2}=\sqrt[5]{a}\) при \(a\ge0\). Следовательно, при \(a>0\) результат равен \(a-1\); деление требует ненулевого знаменателя.

Ответ: 1) \(2a^2\); 2) \(3x\); 3) 0; 4) \(a-1\) (при \(a>0\)).