49. Выполните действия: \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(3\frac{1}{8} - 2\frac{8}{9}\right)^2.\)

Решение:

1. Возведём \(\frac{1}{2}\) в куб:
• \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}\)
2. Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
• \(3\frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8}\)
• \(2\frac{8}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{26}{9}\)
3. Выполним вычитание в скобках:
• \(\frac{25}{8} - \frac{26}{9} = \frac{25 \cdot 9}{72} - \frac{26 \cdot 8}{72} = \frac{225 - 208}{72} = \frac{17}{72}\)
4. Возведём результат в квадрат:
• \(\left(\frac{17}{72}\right)^2 = \frac{17^2}{72^2} = \frac{289}{5184}\)
5. Умножим полученные результаты:
• \(\frac{1}{8} \cdot \frac{289}{5184} = \frac{289}{41472}\)

Ответ: \(\frac{289}{41472}\).