490. Вычислить $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$, если $\sin\alpha=\frac45$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, и $\cos\beta=\frac8{17}$, $\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 490. Вычислить $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$, если $\sin\alpha=\frac45$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, и…$ Фото задания

490. Вычислить $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$, если $\sin\alpha=\frac45$, $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, и $\cos\beta=\frac8{17}$, $\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi$.

Accepted Answer

Угол $\alpha$ находится во II четверти, поэтому $\cos\alpha<0$: $\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35$. Следовательно, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac43$.

Угол $\beta$ находится в IV четверти, поэтому $\sin\beta<0$: $\sin\beta=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}$. Тогда $\operatorname{tg}\beta=-\frac{15}{8}$.

Используем формулу тангенса суммы:

\[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}=\frac{-\frac43-\frac{15}{8}}{1-\left(-\frac43\right)\left(-\frac{15}{8}\right)}=\frac{-\frac{77}{24}}{-\frac32}=\frac{77}{36}.\]

Ответ: $\frac{77}{36}$.

490. Вычислить \(\operatorname{tg}(\alpha+\beta)\), если \(\sin\alpha=\frac45\), \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), и \(\cos\beta=\frac8{17}\), \(\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi\).

Ответ: