492. Доказать тождество: 1) \(\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}\); 2) \(\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\beta+1}{\operatorname{ctg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\beta-1}\); 3) \(\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right)=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)\); 4) \(\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}=\operatorname{ctg}\beta-\operatorname{tg}\alpha\); 5) \(\cos\alpha\cos\beta=\frac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\); 6) \(\sin\alpha\sin\beta=\frac12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]\).

Раскроем синусы суммы и разности: \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\), \(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\). Разделив числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\cos\beta\), получаем \(\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}\).

Раскроем косинусы: отношение равно \(\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\). Делим числитель и знаменатель на \(\sin\alpha\sin\beta\) и получаем \(\frac{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta+1}{\operatorname{ctg}\alpha\operatorname{ctg}\beta-1}\).

По формуле косинуса суммы: \(\cos(\frac\pi4+\alpha)=\cos\frac\pi4\cos\alpha-\sin\frac\pi4\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)\).

Раскроем косинус суммы и разделим на \(\cos\alpha\sin\beta\): \(\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\sin\beta}=\operatorname{ctg}\beta-\operatorname{tg}\alpha\).

Сложим формулы косинуса суммы и разности: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta\). Деление на 2 даёт требуемое равенство.

Вычтем формулу косинуса суммы из формулы косинуса разности: \(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta\). Деление на 2 даёт требуемое равенство.