491. Упростить выражение: 1) $\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$; 2) $\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right)\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha$; 3) $\cos3\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha$; 4) $\cos2\alpha-\cos\alpha\cos3\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 491. Упростить выражение: 1) $\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

По формулам косинуса суммы и разности: $\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta$.
По формуле произведения косинусов: $\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right)\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)=\frac{\cos(\frac\pi2+2\alpha)+\cos2\alpha}{2}=\frac{-\sin2\alpha+\cos2\alpha}{2}$. Поэтому выражение равно $\frac12(\cos2\alpha-\sin2\alpha+\sin^2\alpha)$. Используя $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$, получаем $\frac12(1-\sin^2\alpha-\sin2\alpha)$.
Так как $\sin\alpha\sin2\alpha=\frac12[\cos(\alpha-2\alpha)-\cos(\alpha+2\alpha)]=\frac12(\cos\alpha-\cos3\alpha)$, выражение равно $\frac12(\cos3\alpha+\cos\alpha)$.
По формуле произведения: $\cos\alpha\cos3\alpha=\frac12[\cos2\alpha+\cos4\alpha]$. Значит, $\cos2\alpha-\cos\alpha\cos3\alpha=\frac12(\cos2\alpha-\cos4\alpha)=\sin3\alpha\sin\alpha$.

Ответ: 1) $2\sin\alpha\sin\beta$; 2) $\frac12(1-\sin^2\alpha-\sin2\alpha)$; 3) $\frac12(\cos3\alpha+\cos\alpha)$; 4) $\sin3\alpha\sin\alpha$.

491. Упростить выражение: 1) \(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\); 2) \(\cos\left(\frac\pi4+\alpha\right)\cos\left(\frac\pi4-\alpha\right)+\frac12\sin^2\alpha\); 3) \(\cos3\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha\); 4) \(\cos2\alpha-\cos\alpha\cos3\alpha\).