492. Докажите признак равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD ∥ BC.

а) Если углы при одном основании равны, то трапеция равнобедренная. Пусть ∠A = ∠D. Опустим перпендикуляры BE и CF на прямую AD. Прямоугольные треугольники ABE и DCF имеют равные острые углы при A и D. Их катеты BE и CF равны как расстояния между параллельными прямыми AD и BC. Поэтому треугольники равны, откуда AB = CD. Следовательно, трапеция равнобедренная.

б) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная. Пусть AC = BD. Рассмотрим треугольники BAD и CDA: AB и CD — боковые стороны, AD — общая сторона, а BD = AC по условию. Для вывода равенства боковых сторон удобнее применить теорему косинусов к диагоналям: при AD ∥ BC обозначим углы при основании AD через α = ∠DAB и δ = ∠CDA, а боковые стороны — AB = c, CD = d, основание AD = a. Тогда BD² = a² + c² − 2ac cos α, а AC² = a² + d² − 2ad cos δ. Условие равенства диагоналей само по себе здесь не позволяет заключить c=d из этих выражений без дополнительного обоснования; используем стандартное доказательство через высоты.

Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Пусть проекции боковых сторон на направление основания равны x и y, а высота трапеции равна h. Тогда BD² = (a−x)²+h², AC² = (a−y)²+h². Равенство диагоналей даёт (a−x)²=(a−y)², то есть либо x=y, либо x+y=2a. Для выпуклой трапеции с основанием AD и точками B,C по одну сторону от него, длины проекций на основание удовлетворяют x+y<2a (при выборе оснований и проекций в пределах фигуры), поэтому остаётся x=y; тогда боковые прямоугольные треугольники имеют одинаковые катеты h,x, а значит AB=CD. Таким образом, трапеция равнобедренная.

Ответ: в обоих случаях трапеция равнобедренная.