491. Коллинеарны ли векторы: а) \(\vec{a} \{-5; 3; -1\} и \(\vec{b} \{6; -10; -2\}\); б) \(\vec{a} \{-2; 3; 7\} и \(\vec{b} \{-1; 1,5; 3,5\}\); в) \(\vec{a} \{-\frac{2}{5}; -1; \frac{2}{3}\} и \(\vec{b} \{6; -5; 9\}\)?

Решение:

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}\).

1. а) \(\vec{a} \{-5; 3; -1\} и \(\vec{b} \{6; -10; -2\}\)
   • \(\frac{-5}{6}\)
   • \(rac{3}{-10}\)
   • \(rac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\)

   Пропорции не равны, значит, векторы не коллинеарны.

2. б) \(\vec{a} \{-2; 3; 7\} и \(\vec{b} \{-1; 1,5; 3,5\}\)
   • \(rac{-2}{-1} = 2\)
   • \(rac{3}{1,5} = 2\)
   • \(rac{7}{3,5} = 2\)

   Пропорции равны, значит, векторы коллинеарны.

3. в) \(\vec{a} \{-\frac{2}{5}; -1; \frac{2}{3}\} и \(\vec{b} \{6; -5; 9\}\)
   • \(\frac{-\frac{2}{5}}{6} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}\)
   • \(rac{-1}{-5} = \frac{1}{5}\)
   • \(rac{\frac{2}{3}}{9} = \frac{2}{27}\)

   Пропорции не равны, значит, векторы не коллинеарны.

Ответ: а) нет; б) да; в) нет