493. Компланарны ли векторы: а) \(\vec{a} \{-1; 2; 3\}, \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\); б) \(\vec{b} \{2; 1; 1,5\}, \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\); в) \(\vec{a} \{1; 1; 1\}, \(\vec{b} \{1; -1; 2\} и \(\vec{c} \{2; 3; -1\}\\\)?

Решение:

Три вектора \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) компланарны, если их смешанное произведение равно нулю, то есть \([v\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0\). Для двух векторов, необходимо чтобы один вектор был линейной комбинацией другого.

Векторы \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) — это единичные векторы вдоль осей координат, то есть \(\vec{i} = \{1; 0; 0\}, \vec{j} = \{0; 1; 0\}, \vec{k} = \{0; 0; 1\}.

1. а) \(\vec{a} \{-1; 2; 3\}, \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\}
   • \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} = \{1; 0; 0\} + \{0; 1; 0\} - \{0; 0; 1\} = \{1; 1; -1\}
   • Проверим, является ли один вектор линейной комбинацией другого:
   • \(\{-1; 2; 3\} = k \cdot \{1; 1; -1\}\)
   • \(-1 = k \cdot 1 → k = -1\)
   • \(2 = k \cdot 1 → k = 2\)
   • \(3 = k \cdot (-1) → k = -3\)

   Так как значение \(k\) не совпадает, векторы не коллинеарны, а значит, не компланарны (для двух векторов компланарность эквивалентна коллинеарности).

2. б) \(\vec{b} \{2; 1; 1,5\}, \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\}
   • \(\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} = \{1; 1; -1\}
   • Проверим, является ли один вектор линейной комбинацией другого:
   • \(\{2; 1; 1,5\} = k \cdot \{1; 1; -1\}\)
   • \(2 = k → k = 2\)
   • \(1 = k → k = 1\)
   • \(1,5 = k \cdot (-1) → k = -1,5\)

   Так как значение \(k\) не совпадает, векторы не коллинеарны, а значит, не компланарны.

3. в) \(\vec{a} \{1; 1; 1\}, \(\vec{b} \{1; -1; 2\} и \(\vec{c} \{2; 3; -1\}\\\)?
   • Найдем смешанное произведение:
   • \([v\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}\)
   • \(= 1 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2) + 1 \cdot (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2)\)
   • \(= 1 \cdot (1 - 6) - 1 \cdot (-1 - 4) + 1 \cdot (3 + 2)\)
   • \(= 1 \cdot (-5) - 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 5\)
   • \(= -5 + 5 + 5 = 5\)

   Так как смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет