492. Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD ∥ BC.

а) Если углы при каждом основании равны, то трапеция равнобедренная.

Проведём высоты BE и CF к основанию AD. Прямоугольные треугольники AEB и DFC имеют равные катеты BE = CF и равные острые углы при основании: ∠A = ∠D. Поэтому треугольники равны, а значит, их гипотенузы равны: AB = CD. Следовательно, боковые стороны трапеции равны, то есть она равнобедренная.

б) Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

Сравним треугольники BAD и CDA. У них BD = AC по условию, AD — общая сторона, а ∠BAD = ∠CDA, поскольку это углы при основании AD. По теореме синусов либо по равенству треугольников получаем равенство боковых сторон AB = CD. Значит, трапеция равнобедренная.