497. Сократите дробь: a) \(\frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}}\) б) \(\frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}}\) в) \(\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\) г) \(\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}}\)

Решение:

1. а) \( \frac{\sqrt{70}-\sqrt{30}}{\sqrt{35}-\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{10}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2} \).
2. б) \( \frac{\sqrt{15}-5}{\sqrt{6}-\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \).
3. в) \( \frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}} = \frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{18}\sqrt{2}-2\sqrt{2}} = \frac{9-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}(3\sqrt{2}-2)} \). Умножим числитель и знаменатель на \( 3\sqrt{2}+2 \): \( \frac{(9-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{2}-2)(3\sqrt{2}+2)} = \frac{27\sqrt{2}+18-6\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}((3\sqrt{2})^2-2^2)} = \frac{27\sqrt{2}+18-6\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{\sqrt{2}(18-4)} = \frac{27\sqrt{2}+18-6\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{14\sqrt{2}} \). Это выражение сложно сократить. Проверим исходное условие. Возможна опечатка. Если бы было \( \frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2} \), тогда: \( \frac{(9-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2)}{(3\sqrt{2}-2)(3\sqrt{2}+2)} = \frac{27\sqrt{2}+18-6\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{18-4} = \frac{27\sqrt{2}+18-6\sqrt{6}-4\sqrt{3}}{14} \).
4. г) \( \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2+\sqrt{6}-\sqrt{2}} \). Попробуем выделить \( \sqrt{2} \) и \( \sqrt{3} \) в числителе: \( \sqrt{2}(3+\sqrt{3}) + \sqrt{3}(2-1) \). В знаменателе: \( 2+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2} \). Не очевидно. Проверим, можно ли домножить знаменатель на сопряженное. Если знаменатель \( 2+\sqrt{6}-\sqrt{2} \) домножить на \( 2+\sqrt{6}+\sqrt{2} \): \( (2+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 4+4\sqrt{6}+6-2 = 8+4\sqrt{6} \). Это тоже не упрощает. Попробуем найти общий множитель. \( 2+\sqrt{6}-\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-1) \). Числитель: \( 2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6} \). Если \( \sqrt{2} \) вынести из числителя: \( \sqrt{2}(3 + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(3 + \sqrt{6} - \sqrt{3}) \). Сокращений нет. Возможна опечатка в задании.

Ответ: а) \( \sqrt{2} \); б) \( \frac{\sqrt{10}}{2} \); в) (возможно, опечатка, результат сложный); г) (возможно, опечатка, результат сложный).