502. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби: a) \(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\) б) \(\frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}\) в) \(\frac{7-\sqrt{a}}{49-7\sqrt{a}+a}\) г) \(\frac{\sqrt{mn}+1}{mn+\sqrt{mn}+1}\)

Решение:

1. а) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю \( \sqrt{x}+\sqrt{y} \): \( \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{x-y}{x+\sqrt{xy}} \).
2. б) Умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю \( a-\sqrt{b} \): \( \frac{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a-\sqrt{b})} = \frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab} \).
3. в) Заметим, что знаменатель \( 49-7\sqrt{a}+a = (7-\sqrt{a})^2 \). Умножим числитель и знаменатель на сопряженное числителю \( 7+\sqrt{a} \): \( \frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(7-\sqrt{a})^2(7+\sqrt{a})} = \frac{49-a}{(7-\sqrt{a})(49-7\sqrt{a}+a)} \). Это не упрощает. Если знаменатель \( (7-\sqrt{a})^2 \), то \( \frac{7-\sqrt{a}}{(7-\sqrt{a})^2} = \frac{1}{7-\sqrt{a}} \). Теперь освободимся от иррациональности в знаменателе: \( \frac{1}{7-\sqrt{a}} = \frac{7+\sqrt{a}}{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})} = \frac{7+\sqrt{a}}{49-a} \).
4. г) Заметим, что знаменатель \( mn+\sqrt{mn}+1 = (\sqrt{mn})^2 + \sqrt{mn} + 1 \). Числитель \( \sqrt{mn}+1 \). Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{mn}-1 \): \( \frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn+\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)} = \frac{mn-1}{(mn+\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)} \). Раскроем скобки в знаменателе: \( mn\sqrt{mn}-mn+\sqrt{mn}(\sqrt{mn}) - \sqrt{mn} + \sqrt{mn}-1 = mn\sqrt{mn}-mn+mn-\sqrt{mn}+\sqrt{mn}-1 = mn\sqrt{mn}-1 \). Тогда дробь равна \( \frac{mn-1}{mn\sqrt{mn}-1} \).

Ответ: а) \( \frac{x-y}{x+\sqrt{xy}} \); б) \( \frac{a^2-b}{a^2\sqrt{b}-ab} \); в) \( \frac{1}{7-\sqrt{a}} \) или \( \frac{7+\sqrt{a}}{49-a} \); г) \( \frac{mn-1}{mn\sqrt{mn}-1} \).