499 Найдите вероятность того, что случайная нормальная величина отклоняется от своего математического ожидания в ту или иную сторону более чем:

Решение:

Стандартное нормальное распределение имеет математическое ожидание \( \mu = 0 \) и стандартное отклонение \( \sigma = 1 \). Отклонение от математического ожидания более чем на \( k \) стандартных отклонений означает, что случайная величина \( X \) находится вне интервала \( (-k \sigma, k \sigma) \). Для стандартного нормального распределения это интервал \( (-k, k) \).

Вероятность \( P(|X| > k) \) можно найти как \( 1 - P(|X| \le k) \) или \( 2 \cdot P(X < -k) \).

а) на одно стандартное отклонение:

Здесь \( k = 1 \). Нам нужно найти вероятность \( P(|X| > 1) \).

\( P(|X| > 1) = 1 - P(|X| \le 1) \). Вероятность \( P(|X| \le 1) \) для стандартного нормального распределения (площадь под кривой от -1 до 1) приблизительно равна 0,6827.

\( P(|X| > 1) = 1 - 0,6827 = 0,3173 \).

б) на два стандартных отклонения:

Здесь \( k = 2 \). Нам нужно найти вероятность \( P(|X| > 2) \).

Вероятность \( P(|X| \le 2) \) для стандартного нормального распределения (площадь под кривой от -2 до 2) приблизительно равна 0,9545.

\( P(|X| > 2) = 1 - 0,9545 = 0,0455 \).

в) на три стандартных отклонения:

Здесь \( k = 3 \). Нам нужно найти вероятность \( P(|X| > 3) \).

Вероятность \( P(|X| \le 3) \) для стандартного нормального распределения (площадь под кривой от -3 до 3) приблизительно равна 0,9973.

\( P(|X| > 3) = 1 - 0,9973 = 0,0027 \).

Ответ: а) приблизительно 0,3173; б) приблизительно 0,0455; в) приблизительно 0,0027.