5*. В окружности с центром O проведен диаметр AB, пересекающий хорду CD в точке K, причем K — середина хорды. Известно, что ∠CAD = 40°. Найдите ∠BAD.

Дано: 1. AB — диаметр окружности с центром O. 2. K — середина хорды CD. 3. ∠CAD = 40°. Нужно найти: ∠BAD. Решение: 1. Так как AB – диаметр, и K – середина хорды CD, то по свойству окружности, диаметр перпендикулярен хорде CD, то есть ∠AKC = ∠AKD = 90°. 2. Соединим точки O и C. OC - радиус окружности. 3. По свойству хорды и перпендикуляра, K - середина хорды CD, значит OK перпендикулярен CD. 4. Угол ∠COD - центральный, угол ∠CAD - вписанный и опираются на одну и ту же дугу CD. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного: ∠COD = 2 * ∠CAD = 2 * 40° = 80°. 5. Рассмотрим треугольник OCK. Он прямоугольный, поскольку OK перпендикулярно CD. ∠COK = 1/2 * ∠COD = 1/2 * 80° = 40°. 6. В треугольнике OCK сумма острых углов равна 90° (∠OKC = 90°). 7. ∠OCK = 90° - ∠COK = 90° - 40° = 50°. 8. Рассмотрим треугольник OCA. OC = OA (как радиусы), значит треугольник OCA - равнобедренный. Следовательно, ∠OAC = ∠OCA = 50°. 9. ∠BAD = ∠OAB = ∠OAC - ∠CAD = 50° - 40° = 10°. **Ответ:** ∠BAD = 10°.