5. (1 балл) На рисунке 5 AC = BD. Докажите, что AB = CD.

Решение:

Дано: \( AC = BD \) (в круге).

Доказать: \( AB = CD \).

Доказательство:

1. В круге равные хорды стягивают равные дуги.
2. По условию, \( AC = BD \). Следовательно, дуга AC равна дуге BD: \( \text{arc} AC = \text{arc} BD \).
3. Рассмотрим дугу AB. Она может быть представлена как \( \text{arc} AB = \text{arc} ACB - \text{arc} CB \).
4. Рассмотрим дугу CD. Она может быть представлена как \( \text{arc} CD = \text{arc} CDB - \text{arc} CB \).
5. Из равенства дуг \( \text{arc} AC = \text{arc} BD \) следует, что \( \text{arc} AB = \text{arc} CD \) (если от равных дуг отнять одну и ту же дугу \( \text{arc} CB \)).
6. Так как дуга AB равна дуге CD, то и стягивающие их хорды равны: \( AB = CD \).

Что и требовалось доказать.